外心的向量问题 向量表示外心


外心的向量问题 向量表示外心

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三角形的欧拉线、三角形重心、垂心、外心的向量问题,高考数学压轴题多选题 。


这个题目非常的困难,我们一起来分析一下 。著名的数学家欧拉提出了如下定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上,并且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线我们称之为三角形的欧拉线,该定理被称为欧拉线定理 。
已知三角形ABC的外心为O,重心为G,垂心为H,M点为BC的中点,且AB=4,AC=2 。我们先看一下这个图,则下列各式正确的是哪几个?


本题是一道多选题,第一个研究的平面向量的数量积与重心相关,重心有什么性质?我们要牢记重心分中线为2 : 1,理解重心的向量式或根据我们前面讲的平行走路法进行分解,得着重心的向量式,进而将所求向量按照向量AB和AC进行分解,就可以得到数量积 。


第二个选项,三角形的外心相关,凡是遇到与外心相关的问题,我们都要两大思路,一是借助平面直角坐标系中垂线的交点,借助坐标求解,二是巧用投影法将平面向量数量积转化成线段长度问题 。


第三个选项,研究三角形垂心与重心的关系,我们在平面向量专栏做了详细的说明,可以借助平面几何知识,也可以借助坐标运算(建系、求高线方程、求交点H),也可以借助平行走路分解法进行转移求解 。


第四个选项有难度,难在思路上,一定要落实三角形四个心之间的关系,转移就行了 。


这是一道非常经典的例题,希望大家认真落实 。如需系统学习请查看高考数学总复习专栏,详见下面的目录及专栏小卡片,已更新853课(15天通关高考数学总复习),适合高二、高三年级的学生使用 。总目录可以回复“目录”两个字 。
高考数学总复习,配套两大压轴题,高考无敌 。
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