证明边长比例关系的常用方法怎么证明对应边成比例

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初中几何中经常会遇到证明边长比例关系的问题。现在总结一下常见的几种方法技巧。以证明三角形角平分线定理为例。
三角形角平分线定理：
在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，则AB/BD=AC/CD 。
方法1：利用相似三角形的比例关系（相似法）
（这是证明线段长度比例关系最常用的方法）
证明的关键是“构造相似三角形”，“做平行线构造相等角度”是构造相似三角形的最常用方法。
过C作CE∥AB，交AD的延长线于E
∵CE∥AB
∴∠ABC=∠BCE，且∠BAD=∠AEC（平行线形成的内错角相等）
∴△ABD∽△ECD
∴AB/EC=BD/DC
∵AE是∠BAC的角平分线
∴∠CAE=∠CEA，即△ACE是等腰三角形，AC=EC
于是得到：AB/AC=BD/DC 。证毕。

方法2：利用图形面积的比例关系证明线段的比例关系（面积法）
（很多看似复杂不知该如何构造相似三角形的问题可以尝试）
在△ABC中，AD是∠BAC的平分线
过点D作DE⊥AB，DF⊥AC
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF
∵2S△ABD=AB×DE且2S△ACD=AC×DF
∴S△ABD：S△ACD=AB：AC
又∵S△ABD：S△ACD=BD：CD（同高，面积比例为底边比例）
∴S△ABD:S△ACD=AB：AC=BD:CD
∴AB:AC=BD:CD

方法3：代数法（利用正弦定理、余弦定理计算边长的数量关系）
正弦定理：△ABC中，∠A、∠B、∠C对边分别为 a、b、c 。
则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为三角形外接圆半径）
根据正弦定理有：
AB/BD=sin∠ADB/sin∠BAD
AC/CD=sin∠ADC/sin∠CAD
∵∠ADB与∠ADC互为补角
∴sin∠ADB= sin∠ADC
∵AD为∠BAC的平分线
∴sin∠BAD= sin∠CAD
∴AB/BD= AC/CD，即AB/AC=BD/CD
以上是总结的几种证明边长比例关系的常用方法。在遇到类似问题时，脑海中应当迅速地遍历一下这几种方法并进行心算推演，一定会大大提升解题效率。

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