圆周率是怎么计算的?欧几里德的《几何原本》里有公理:过一点以某个半径可以做一个圆 。根据相似形可知任何一个圆的周长与直径的比都是一个常数,把这个常数称为圆周率π 。这个常数是一个无限不循环小数,即无理数 。从古希腊时代开始,由于科学研究和工程技术的需要,圆周率的计算就一直没有停止过 。直到今天,圆周率依然是检验计算机计算能力的方法之一 。日本某个无聊的出版社居然出了一本一百万位的圆周率的书《円周率1000000桁表》,全书只有一个数字:π如果使用一根软绳测量圆的周长,再除以圆的直径,只能得到圆周率大约等于3的结果,更加精确的结果只能依赖计算 。现代圆周率计算的方法很多,本文只介绍历史上最早计算圆周率的三个人物:阿基米德、刘徽和祖冲之 。阿基米德阿基米德是最早得出圆周率大约等于3.14的人 。传说在他临死时被罗马士兵逼到一个海滩,还在海滩上计算圆周率,并且对士兵说:“你先不要杀我,我不能给后世留下一个不完善的几何问题 。”阿基米德计算圆周率的方法是双侧逼近:使用圆的内接正多边形和外切正多边形的周长来近似圆的周长 。正多边形的边数越多,多边形周长就越接近圆的边长 。阿基米德最终计算到正96边形,并得出π约等于3.14的结果 。阿基米德死后,古希腊遭到罗马士兵摧残,叙拉古国灭亡,古希腊文明衰落,西方圆周率的计算从此沉寂了一千多年 。刘徽阿基米德死后五百年,中国处于魏晋时期,著名数学家刘徽将圆周率推演到小数点之后四位 。他在著作《九章算术注》中详细阐述了自己的计算方法 。刘徽的算法与阿基米德基本相同,但是刘徽提出了正N边形边长Ln与正2N边形边长的递推公式 。设圆的内接正N边形的变长为Ln,如图中AB所示 。将正N边形变为正2N边形,边长如图中BD所示 。由此可以得到递推式:又因为正六边形L6=1,可以得到L12,L24,L48...刘徽最终计算到了3072边形,得到圆周率的值祖冲之又过了两百年,中国数学家祖冲之横空出世 。祖冲之使用“缀术”将圆周率的值计算到小数点后第七位,指出:这个结果直到一千多年后才被西方超越 。但遗憾的是,“缀术”到底是什么方法,已经失传,至今仍是千古疑案 。华罗庚等科学家认为:祖冲之的方法仍然是割圆法,但是如果要得到这个精度,需要分割到24576边形,从正六边形出发,还需要迭代刘徽的公式12次,而且在每次迭代的过程中,必须保证足够多的有效数字,否则就会影响到最后的结果 。祖冲之通过什么神奇的方法保证了计算的准确?至今仍是一个谜 。另外,小时候看了一个故事,很久以前,有位教书先生,整日里不务正业,就喜欢到山上找庙里的和尚喝酒 。他每次临行前留给学生的作业都一样:背诵圆周率 。开始的时候,每个学生都苦不堪言 。后来,有一位聪明的学生灵机一动,想出妙法,把圆周率的内容与眼前的情景(老师上山喝酒)联系起来,编了一段顺口溜:山巅一寺一壶酒(3.14159)尔乐苦煞吾(26535)把酒吃(897)酒杀尔(932)杀不死(384)乐尔乐(626)rr比较早的系统的圆周率计算方法,是刘徽的“割圆术”通过计算正多边形周长和圆半径的比值,来计算圆周率 。工作繁琐,效率低下 。祖冲之父子割出来了6万多边形,也只算到7位 。之后出现了级数法,例如莱布尼茨级数:π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9……马青公式:π/4=4(1/5-(1/5)3/3+(1/5)^5/5-(1/5)^7/7+……)+(1/239-(1/239)3/3+(1/239)^5/5-(1/239)^7/7+……)但收敛速度都比较慢 。表现比较好的,这个马青公式,算到了137位 。现代计算机,则常用高斯-勒让德法 。收敛很快,迭代十几次就能算出上千万位 。很给力 。也有很神奇的BBP法,可以直接算特定位上的π值 。这个公式经常用来验证π的计算是否正确 。圆周率是无理数,这一点也是有严格证明的 。当然,如果你愿意,也可以定义一个“π进制”这里用方括号表示不同进制 。比如(10)[2],就是2进制下的10,也就是十进制下的2.在π进制里:(10)[π] = (π)[10];(1)[π] = (1)[10];(100)[π] = (π^2)[10];但是计算起来就巨麻烦,也很少有人会用这个来讨论 。
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