计算器在线计算算是什么意思( 二 )

这三个问题过了30年都没有解决，不过希尔伯特很有信心，认为答案一定是“是， ”并且还断言“不存在不可解的问题。”
然而他的乐观断言并没有维持太久百思特网。可以说非常短命。因为就在希尔伯特做出上述断言的同一次会议中，一位25岁的数学家宣布了对不完备性定理的证明，他的发现震惊了整个数学界，这位年轻人名叫哥德尔（Kurt Gdel）。不完备性定理说的是，如果上面的问题2的答案是“是”（即数学是一致的），那么问题1（数学是不是完备的）的答案就必须是“否。”

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哥德尔， 1906-1978
（照片由普林斯顿大学图书馆提供）
哥德尔的不完备性定理是从算术着手。他证明，如果算术是一致的，那么在算术中必然存在无法被证明的真命题——也就是说，算术是不完备的。而如果算术是不一致的，那么就会存在能被证明的假命题，这样整个数学都会崩塌。
哥德尔的证明很复杂。不过直观上却很容易解释。哥德尔给出了一个数学命题，翻译成白话就是“这个命题是不可证的。”
仔细思考一下。这个命题很奇怪，它居然谈论的是它自身——事实上，它说的是它不可证。我们姑且称它为“命题A 。”现在假设命题A可证。那么这样它就为假（因为它说它不可证）。这就意味着证明了假命题——从而算术是不一致的。好了，那我们就假设它命题A不可证。这就意味着命题A为真（因为它断言的就是自己不可证），但这样就存在不可证的真命题——算术是不完备的。因此，算术要么不一致，要么不完备。
难以想象这个命题如何转换成用数学语言表述，但是哥德尔做到了——哥德尔的证明的复杂和精彩之处就在此，在这里我们不去讨论。
绝大多数数学家和哲学家都坚定地认为希尔伯特问题能被正面解决，这对他们是个沉重的打击。就像数学作家霍吉斯（Andrew Hodges）说的：“这是在研究中惊人的转折，因为希尔伯特曾以为他的计划将一统天下。对于那些认为数学完美而且无懈可击的人来说，这让人难以接受……”
◆ ◆ ◆图灵机和不可计算性
哥德尔干净利落地解决了希尔伯特第一和第二问题，接着第三问题又被英国数学家图灵（Alan Turing）干掉了。

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图灵， 1912-1954
1935年，图灵23岁，在剑桥跟随逻辑学家纽曼（Max Newman）攻读研究生。纽曼向图灵介绍了哥德尔刚刚得出的不完备性定理。在理解哥德尔的结果之后，图灵发现了该如何解决希尔伯特第三问题，判定问题，同样，他的答案也是“否。”
图灵是怎么证明的呢？前面说过，判定问题问的是，是不是有“明确程序”能判定任意命题是否可证？“明确程序”指的是什么呢？图灵的第一步就是定义这个概念。沿着莱布尼茨在两个世纪以前的思路，图灵通过构想一种强有力的运算机器来阐述他的定义，这个机器不仅能进行算术运算，也能操作符号，这样就能证明数学命题。通过思考人类如何计算，他构造了一种假象的机器，这种机器现在被称为图灵机。图灵机后来成了电子计算机的蓝图。

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