两个重要极限公式推导如何求极限

今天的文章聊聊高等数学当中的极限，我们跳过极限定义以及一些常用极限计算的部分。我想对于一些比较常用的函数以及数列的极限，大家应该都非常熟悉。
大部分比较简单的函数或者数列，我们可以很直观地看出来它们的极限。比如1/n，当n趋向于无穷大的时候，1/n 的极限是0，再比如当n趋向于无穷大的时候，n的平方的极限也是无穷大，等等。
但是对于一些相对比较复杂的函数，我们一时之间可能很难直观地看出极限，因此需要比较方便计算极限的方法，今天的文章介绍的正是这样的方法——夹逼法和换元法。
夹逼法在数学领域其实非常常用，在中学的竞赛当中经常出现。夹逼法的原理非常简单：
对于某一个函数f(x)，我们知道它的表达式，但是很难确定它的范围。我们可以先找到另外两个范围比较容易确定的函数g(x)和h(x)，然后证明:

文章插图
通过h(x)和g(x)的范围来夹逼f(x)的范围。
说白了，就是直接求解不方便的函数，我们通过用其他容易计算的函数来替代的方法来间接求解，类似于“曲线救国” 。
明白了夹逼法的概念之后，我们再来看一下它在数列极限当中的应用。
假设当下存在数列 {xn} 我们需要确定它的极限，我们找到了另外两个数列 {yn} 和 {zn} 。如果它们满足以下两个条件：

文章插图
那么，数列 {xn} 的极限存在，并且:

文章插图
从直觉上来看，上面的式子应该非常直观，但是我们还是试着从数学的角度来证明一下，顺便回顾一下极限的定义。
证明过程如下：
根据极限的定义，对于数列 {xn} 而言，对于任意?都存在 n0

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