矩阵的秩8个性质及证明 i矩阵表示什么

文章插图
前言本篇主要学习下线代中向量与矩阵相关的知识，包括多维向量内积与机器学习中递推的关系，矩阵的基础概念和计算等；在书中也只提到与机器学习有关联的基础知识点，整体难度不算高；
正文向量的定义假设现在有两个点 A和B ，那么 A->B 就是一个有位置（A的位置）有方向（A指向B的方向）有大小（AB线段的长度）的向量
一个向量可以由如下三种方式表达
坐标表示如果我们建立一个直角坐标系，把A点移动到坐标原点， B点相对A点的位置不变，那么B点的坐标就可以看作是向量 A->B 的坐标表示
也可以把这个定义推广到三维甚至N维直角坐标系上，下图表示 A(1, 1, 1) 向量
向量的大小向量的大小用 |a| 表示，与绝对值符号相同
向量的大小即向量的长度，通过直角坐标系可以很方便的理解，比如 a = (3, 4) ，根据勾股定理，该向量的大小就是 5
再推广到三维， a = (1, 2, 2) ，那么向量 a 的大小就是：
向量内积向量的内积定义为两个向量的大小乘以向量夹角的 cos
a和b ，只要有一个为0 ，那么内积就是0
同理，这种解法也适用于三维向量
柯西不等式因为任意的θ都会另 -1 < cos(θ) < 1 ，所以很容易推出下面的不等式
结合这个不等式，可以得到如下三种情况
两个向量方向相反时，内积最小两个向量方向相同是，内积最大两个向量方向夹脚在 0 ~ 180° 时，内积大小会从最大到最小书中特意提到，第一条性质（两个向量方向相反时，内积最小）是日后梯度下降法的基本原理
内积的坐标表示还是首先以二维直角坐标系为例，内积可以以坐标的形式进行计算
三维向量一样有这样的性质
多维向量一般化（重点）关于推导，我也尝试用我撇脚的数学推算过，算了一两页纸发现越算越复杂，推不出来，找了个别人的推导过程，有兴趣的可以研究下
看到这个向量内积公式，有没有想到之前提到的神经单元的加权输入：
就可以表现为两个向量的内积加上偏置，向量 w = (w1, w2, w3, w4, …) ， x = (x1, x2, x3, x4, …) ，即：
矩阵的定义矩阵是数的阵列，横排为行，竖排为列，行数与列数相同称为方阵（类比正方形）
以及如下图X,Y所示的行向量和列向量
可以定义一个 m行n列的向量，第 i 行 j 列的元素用 aij 表示，
单位矩阵单位矩阵是一个特殊的矩阵，矩阵的斜对角线元素(aii)都是1 ，其他元素都是0
矩阵的运算矩阵比较、和差常数积A和B相等的含义是两个矩阵对应的元素包括行数列数完全相等
两个矩阵的和、差、常数倍都符合四则运算，和与差都是相同位置的元素直接进行加减，常数倍的乘法直接乘到对应的元素中去，如下：
矩阵乘积（重点）把向量A的i行看作行向量，向量B的j列看作列向量，其内积作为结果的 i行j列的元素
比如，两个向量乘积计算过程如下：
哈达玛积Hadamard积适用于两个相同形状的矩阵，符号的含义是相同行数相同列数的数相乘，作为新矩阵对应函数和列数的值

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