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很长一段时间以来 ， 我一直想写诺特定理 ， 但却迟迟没有“动笔” 。我觉得现在是时候给自己一个交代了 。由埃米·诺特提出的诺特定理 ， 是迄今为止 ， 最美妙的数学思想之一 。但它并没有为普通大众所熟知 。


爱因斯坦和希尔伯特试图得出广义相对论方程 ， 但挣扎了很长一段时间 。因为 ， 在广义相对论之前 ， 存在着这样一个特殊的悖论 ， 悖论是这样的：

如果能量扭曲时空而时空包含能量 ， 那么时空就会扭曲时空 。

埃米·诺特解决了这个问题 ， 但她是如何解决这个问题的？
诺特定理
如果宇宙中的一切都被平移到它现在的右边会怎样？我们知道这不会发生 。但你还是会问“有什么变化？” ， 但更重要的是 ， 什么是保持不变的？
这样的思想实验似乎是对时间的无限“滥用” 。但在你了解诺特定理后 ， 就不这么想了 。通常对诺特定理的理解是：

对称意味着守恒 。

但是什么是对称呢？什么是守恒定律？它们是如何联系在一起的？


“对称”在日常用语中指的是一种协调和美丽的比例感 。在数学中 ， “对称”有一个更精确的定义 ， 通常用来指在某些变换下不变的物体 ， 包括平移、反射、旋转或缩放 。
就数学而言 ， 当对一个物体进行任意变换而不产生方向变化时 ， 就建立了对称 。把一个球绕中心旋转90度 ， 得到的结果和开始时一样 。这个球体是“旋转对称的” 。取一条直线（无限长） ， 向右移动4个单位 ， 直线没有变化 。这被认为是“平移对称” 。这似乎是一个无关紧要的性质 ， 但事实并非如此 。
艾米·诺特认为的对称是这样的：

假设这个对象是某个系统 ， 它不断地按照我们的意愿转换 。这个“系统”是宇宙的一部分 ， 或者是宇宙本身 。我们用λ值拉伸所有的距离 ， 或旋转所有的角度 。诺特提出的问题是 ， 无论如何 ， 系统是否保持不变？

注意：诺特定理将“对称”限制为连续对称 。连续对称是用函数的连续变化来描述的 ， 他们是离散的 。球体是连续对称的 ， 而三角形不是 。详细请阅读：

首先 ， 诺特对能量特别感兴趣 。这里的定义做了一些调整：我们说 ， 如果系统中物体的总能量在任意变换下不改变 ， 那么这个系统就是对称的 。例如 ， 如果我分离出一个质量 ， 并将它与一个移位的质量进行比较 ， 能量将保持不变 。
所以这个系统被认为是“平移对称的” ， 因为我们对它做的“任意变换”是向右平移λ单位 。另一方面 ， 对系统做一个小的改变就可以使这种对称性变得无效 。假设在这个系统中有一颗行星 。离这颗行星越近的质量 ， 其引力势能就越小；而离它越远的质量 ， 其引力势能就越大 。因此 ， 这个系统不被认为是平移对称的 。
这就是对称部分 。守恒定律是什么意思？简单地说 ， 守恒量就是那些既不能被毁灭也不能被创造的量 ， 只是从一种形式转化成另一种形式 。一些守恒量是能量 ， 

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