空间几何体的表面积和体积与祖暅原理空间几何体的表面积与体积总结

文章插图
柱体、椎体、台体的表面积和体积圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱的侧面展开图是一个矩形。如果圆柱的底面半径为 r ，母线长为 l ，那么圆柱的底面面积为 πr2，侧面面积为 2πrl。圆柱的表面积为
S = 2 π r2 + 2 π r l= 2 π r ( r + l )
圆柱和圆锥展开图
圆锥的侧面展开图是一个扇形。如果圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，圆锥的表面积为
S = π r 2 + π r l = π r ( r + l )
圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即
S = π ( r'2 + r2 + r'l+ r l )
圆台展开图
柱体、锥体与台体的体积
柱体的体积为 V = S h
锥体(圆锥和棱锥)的体积为同低等高的柱体(圆柱和棱柱)的三分之一，即
椎体的体积公式
台体的体积为
台体的体积公式
球的体积和表面积设球的半径为R，它的体积是以R为自变量的函数。
球的体积
球的表面积S也是以R为自变量的函数。
【空间几何体的表面积和体积与祖暅原理空间几何体的表面积与体积总结】球的表面积
证明题
祖暅原理与柱体、椎体、台体及球体的体积祖暅原理 : “幂势既同，则积不容异” 。“ 幂 ”即面积，“ 势 ”即高，这原理是说，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那这两个几何体的体积一定相等。
祖暅原理
根据祖暅原理可推导出，等底面积等高的两个椎体的体积相等。
用祖暅原理推导几何体的体积公式
设有底面积都等于S，高都等于h的两个锥体(或柱体)，使它们的底面在同一平面内。根据祖暅原理，可推导出它们的体积相等。
① ②
根据图 ② 可得三棱锥的体积等于棱柱体积的三分之一。
椎体的体积公式
应用祖暅原理研究半球(半径为R)的体积计算:
设平行于大圆且与大圆的距离为 ι 的平面截半球所得圆面的半径为 r，r = √( R2-ι2 )，于是截面面积
S1 = π r2 =π (R2-ι2) = πR2 - πι2
S1 可以看成是在半径为 R 的圆面上挖去一个半径为 l 的同心圆，所得圆环的面积。
半圆的体积研究
取一个底面半径和高均为 R 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与半球放在同一水平面上。用任一水平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面，圆环大圆半径为 R ，小圆半径为 ι，则面积S2 = πR2-πι2=π (R2-ι2)，则 S1 = S2。根据祖距原理，这两个几何体体积相等。
球的体积

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