文章插图
一:不同的人如何看待向量向量的概念我们再熟悉不过了,他们在不同人眼中是不一样的
学物理的人认为,向量是空间里面的箭头,决定一个向量的是它的方向和长度,如果两个向量这两个特征相同,那么你可以在空间中任意移动
- 二维向量
- 三维向量
对于学数学的人,他们觉得向量可以是任何东西,只要保证两个向量相加以及数字与向量相乘是有意义的即可
可以看出为什么从数学的角度看,向量是相当抽象的,这也是为什么我们无法学好线性代数的本质原因,而且向量相加和数乘也贯穿了线性代数这门学科的始终、
二:坐标系中的向量表示在线性代数中,我们的向量是一个以坐标原点为起点的箭头(下面的是二维直角坐标系,三维,更高维也是这样)
我们经常会见到线性代数中用begin{pmatrix} -2\ 3end{pmatrix}(?23)这样的形式表示向量,这一对数表示了如何从原点(向量起点)到达尖端(向量终点)
- -2表示从原点开始沿着平行于X轴的负方向移动两个单位
- 3表示从上一位置开始沿着平行于Y轴的正方向移动两个单位
当然我们处于三维世界,也是如此,会多一个z轴,这样的话每一向量就会与一个三元数组对应,比如begin{pmatrix} 2\ 1\ 3end{pmatrix}???213????
- 2表示从原点开始沿着平行于X轴的正方向移动两个单位
- 1表示从上一位置开始沿着平行于Y轴的正方向移动一个单位
- 3表示从上一位置开始沿着平行于Z轴的正方向移动三个单位
begin{pmatrix} 1\ 2end{pmatrix}(12?)+begin{pmatrix} 3\ -1end{pmatrix}(3?1?)=begin{pmatrix} 4\ 1end{pmatrix}(41?)
但为什么要这样运算,很多人却解释不清楚,不过通过几何角度会非常容易理解 。
首先begin{pmatrix} 1\ 2end{pmatrix}(12?)和begin{pmatrix} 3\ -1end{pmatrix}(3?1?)这两个向量在坐标系中表示如下
向量加法相信大家高中就学习过了:移动第二个向量,使其起点移动到第一个向量的末尾,然后连线即可
向量加法为什么一定是这样呢?其实向量从某种方面来讲,揭示的是一种运动趋势,运动无非就是方向和距离嘛,所以大家可以看到最终向量的和就是最终的运动趋势 。
这一点其实在我们初中学习数轴时就深有体会了,我们知道2+5=7,你可以理解为先移动2步,再移动5步
我们把这种观点运用到刚才的向量加法,两个向量相加最终得到了一个新的向量,它一共包括四步:先向右移动1步,再向上移动2步,再向右移动3步,再向下移动1步
所以这就是向量加法的本质
(2)数乘2·begin{pmatrix} 1\ 2end{pmatrix}(12?)=begin{pmatrix} 2\ 4end{pmatrix}(24?)就是向量的数乘运算
比如2overline v2v就是表示把overline vv正向延长为原来的2倍
frac{1}{3} overline v31?v就是表示把overline vv正向缩短为原来的frac{1}{3}31?
而-1.8overline v?1.8v就是表示把overline vv反向延长为原来的1.8倍
对于一个向量,对其进行延长2倍等于把它的每个分量都乘以2,也即
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