张量分析 _张量-「四川龙网」

数学中什么叫做“张量”？对于数域 K 上的 n 维线性空间 V，当给定一组基 {ε?, ε?, ..., ε_n} 后，其中任意一个向量（也叫矢量） α 都对应唯一的坐标系数 (a?, a?, ..., a_n) 使得：又有另外一个向量 β = b?ε? + b?ε? + ... + b_nε_n，将 α 和 β 自然相乘，有：令，则有：称 ω 为二阶（秩）张量，在 V 确定一组基 {ε?, ε?, ..., ε_n}后，对应一个系数方阵 Z 。当然，这个定义是非常粗糙的，甚至有如下缺陷：张量和向量对并不一一对应，例如：下面的一组二维向量对中任何一对之积都一样，即，如果令 z_{ij} = a_i b_j 则 z_{ij} 会受到限制，例如：对应二维线性空间，有于是，得到 z_{ij} 之间的比例关系：显然就不满足上面的比例关系。因此，考虑脱离乘法而用 (1) 的形式直接定义张量，但是显然不能是任意 n2 个数就可以构成张量的系数矩阵，我们需要找到规律。我们知道，n 维度线性空间中的向量 α ，其坐标向量 (a?, a?, ..., a_n) 是依赖于基 {ε?, ε?, ..., ε_n} 的，当基变为 {ε?', ε?', ..., ε_n'} 后就相应的变为 (a?', a?', ..., a_n') 。若已知，{ε?, ε?, ..., ε_n} 到 {ε?', ε?', ..., ε_n'} 过渡矩阵是 T，即：则，有：于是，有：等式两边左乘 (T?)?1，整理后得到：以上推导说明：向量 α的坐标向量虽然随着基的不同而变化，但是向量 α 从未改变，是一个不变量，即：并且，不同基下的坐标向量之间满足(2)。受此启发，分析：ω 的系数矩阵 Z = (z_{ij})也是依赖于基 {ε?, ε?, ..., ε_n} 的，当基变为 {ε?', ε?', ..., ε_n'} 后就相应的变为 Z' = (z_{ij}')，并且有：于是，有：等式两边左乘 (T?)?1，右乘T?1，整理后得到：于是，给出二阶张量的正式定义：与 n 维线性空间 V 有关的量 ω，在线性空间 V 的基变化时，具有不变性，满足，并且，不同基下的系数矩阵之间满足 (3)，则称 ω 为二阶张量。依照以上思路我们可以定义三阶张量，这时系数矩阵就已经不够用了，于是我们只能老老实实用多项式表示，为了简化书写引入爱因斯坦和式：在一项中同时出现两次的上下标 i 称为哑标表示该项是多项相加的缩写，只出现一次的 j 是自由标，禁止多于两次。新设 V 中向量 γ = c?ε? + c?ε? + ... + c_nε_n 有：令 ω = αβγ，z_{ijk} = a_ib_jc_k，则有（从这里开始使用爱因斯坦和式）：ω 就是三阶张量。设 V 的基从{ε?, ε?, ..., ε_n} 变换到 {ε?', ε?', ..., ε_n'} 的过渡矩阵 T 以及其转置逆阵 S 分别为：则有：在新基下，令 ω =z'_{ijk}ε'_iε'_jε'_k，于是有：最终得到：于是我们定义：与 n 维线性空间 V 有关的量 ω，在线性空间 V 的基变化时，具有不变性，满足，并且，不同基下分量之间满足 (4)，则称 ω 为三阶张量。继续延续以上思路，可以将张量扩展到任意 p 阶。对于和 n 维线性空间 V 相关的量 ω，在 V 的基变化时，具有不变性，满足：并且，不同基下分量之间满足：则称 ω 为 p 阶张量。注意到，当 p = 1 时有：这和向量完全一致，因此一阶张量就是向量，向量就是一阶张量。规定，当 p = 0 时为：即，零阶张量就是标量。线性空间 V 上的函数 f: V → K，如果满足线性：f(α + β) = f(α) + f(β)；f(kα) = kf(α)；则称 f 为线性函数。定义线性函数的加法和数乘运算：(f+g)(α) = f(α) + g(α)；(kf)(α) = kf(α)；可以证明 V 上的全体线性函数构成一个新的线性空间，称为 V 的对偶空间，记为 V* 。对于 V 中给定的基 {ε?, ε?, ..., ε_n} ，如果 V* 中的一组函数 {ε1, ε2, ..., ε^n} 使得：注：δ_{ij} 称为 Kro

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