相关系数r的两个公式推导相关系数r的计算公式

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首先，它是一个估计量，但被它所估计的东西是什么？换言之，它是通过观测值计算的，但观测值的函数在观测值范围之外是没有什么相关性的，除非该函数是某分布之某个参数的估计量。现在的问题是这样的分布意味着什么？对于r =+1及r=-1，答案很显然；这种情况下研究对象个体的每种能力都是另一种能力的单调函数，这就是被等级相关系数所估计的东西（即研究对象个体能力的分布状况）。同样地，若研究对象个体的两种能力独立，则r的期望是0，所以，如果在一项研究中发现等级相关系数等于0，很自然地可将其视为（研究对象个体）两种能力无关的一种表示。然而，关于等级相关系数既不为0、也不为±1的那些数值的解释，就不那么容易了。计算等级相关系数的公式
r = ∑（{x-(n+1)/2}{y-(n+1)/2})/√(∑{（x-(n+1)/2）^2} ∑{（y-(n+1)/2）^2 })
（亦可表为r = 1 – (6∑(x-y)^2 )/(n^3-n)）
原本是为（两随机变量）正态相关而推导的；正态相关面在两随机变量取值中心凸起最高，而在（该两变量）其余取值处则会向各个方向延伸。在一项特定的试验中，正态相关面的各种组合都是可能出现的。但x和y的可能取值均在有限区间内，且x, y（一次）只能在其中取到也仅能取到一个值。因此，由等级相关系数公式表示的x和y的相关关系就需要作进一步的考察。等级相关系数r可能为某分布之一参数的估计量，但这分布为何并不清楚，而r是否为该参数的最佳估计也不清楚。
本文转述杰弗里关于等级相关系数的看法，更详细的讨论可见厦门大学出版社2014年出版的哈罗德·杰弗里著、龚凤乾译《概率论》4.7 等级相关，pp 251-258.

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