等差数列求和公式 求和的七种方法 文/叶丹 等差数列是常见数列的一种,可以用AP表示,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,而这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示 。
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1等差数列求和公式 1.公式法
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2.错位相减法
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3.求和公式
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4.分组法 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.
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5.裂项相消法 适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n+1)-f(n),然后累加时抵消中间的许多项 。
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小结:此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了 。只剩下有限的几项 。注意:余下的项具有如下的特点 1、余下的项前后的位置前后是对称的 。2、余下的项前后的正负性是相反的 。6.数学归纳法 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,有如下步骤: (1)证明当n取第一个值时命题成立; (2)假设当n=k(k≥n的第一个值,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立 。例: 求证: 1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5 证明: 当n=1时,有: 1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5 假设命题在n=k时成立,于是: 1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 则当n=k+1时有: 1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1) = [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5 即n=k+1时原等式仍然成立,归纳得证 7.并项求和法 (常采用先试探后求和的方法) 例:1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n 方法一:(并项) 求出奇数项和偶数项的和,再相减 。方法二: (1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(2n-1)-2n] 方法三: 构造新的数列,可借用等差数列与等比数列的复合 。an=n(-1)^(n+1) 2等差数列判定及性质 等差数列的判定 (1)a(n+1)--a(n)=d (d为常数、n ∈N*)[或a(n)--a(n-1)=d,n ∈N*,n ≥2,d是常数]等价于{a(n)}成等差数列 。(2)2a(n+1)=a(n)+a(n+2) [n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列 。(3)a(n)=kn+b [k、b为常数,n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列 。(4)S(n)=A(n)^2 +B(n) [A、B为常数,A不为0,n ∈N* ]等价于{a(n)}为等差数列 。特殊性质 在有穷等差数列中,与首末两项距离相等的两项和相等 。并且等于首末两项之和;特别的,若项数为奇数,还等于中间项的2倍, 即,a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=···=2*a中 例:数列:1,3,5,7,9,11中a(1)+a(6)=12 ; a(2)+a(5)=12 ; a(3)+a(4)=12 ; 即,在有穷等差数列中,与首末两项距离相等的两项和相等 。并且等于首末两项之和 。数列:1,3,5,7,9中a(1)+a(5)=10 ; a(2)+a(4)=10 ; a(3)=5=[a(1)+a(5)]/2=[a(2)+a(4)]/2=10/2=5 ; 即,若项数为奇数,和等于中间项的2倍,另见,等差中项 。等差数列求和公式 求和的七种方法
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