一、函数奇偶性的概念
1. 一般地,对于函数f(x),如果对于函数定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 。
一般地,对于函数f(x),如果对于函数定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 。
注:奇偶性是针对整个定义域而言的,而单调性是针对定义域内的某个区间而言的,定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 。
2.按奇偶性分类,函数可分为四类:
奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.
3、奇偶函数的图象:
奇函数的图象关于原点成中心对称,偶函数的图像关于y轴对称 。
奇函数
偶函数
4、函数奇偶性的性质:
①具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称
②若f(x)是奇函数,且x在0处有定义,则f(0)=0 。
③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同,最值相反;偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反,最值相同
④任意定义在R上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和 。
⑤如果有函数g(x)和f(x),则他们的复合函数f[g(x)]的定义域是关于原点对称的 。当u=g(x),y=f(u)都是奇函数时,y=f[g(x)]是奇函数;当u=g(x),y=f(u)都是偶函数或者一奇一偶时,y= f[g(x)]是偶函数 。
复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.
5.几个与函数奇偶性相关的结论:
①奇函数+奇函数=奇函数;偶函数+偶函数=偶函数;
②奇函数×奇函数=偶函数;奇函数×偶函数=奇函数 。
二、判断函数奇偶性的步骤:
①、求f(x)定义域,判断定义域是否关于原点对称;不对称则是非奇非偶函数,对称转下一步
②、化简f(x),再求f(-x),比较两者的关系
③、根据定义定义得出结论 。
三、抽象函数奇偶性的判断
方法:判断抽象函数的奇偶性常用赋值法 。在已知抽象函数关系中凑出f(-x)+f(x)或者f(-x)-f(x).一般先去探求f(0)的值(或者f(1)、f(-1)的值),再令y=-x,从而产生f(-x)和f(x)的关系 。
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