△y表示函数值的变化，dy的真正含义是对这种变化的逼近 _△

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牛顿322、△y表示函数值的变化，dy的真正含义是对这种变化的逼近

微分到底是什么意思？实际意义是什么？——网友提问
…微、分、微分：见《牛顿321》…
…意、义、意义：见《欧几里得26》…
（…《欧几里得》：小说名…）

湖心亭看雪（编辑于2018-01-25，2584人赞同了该回答）：
…
话说当年学习导数和微分的时候，我也是一头雾水。
…学、习、学习：见《牛顿160》…
…导、数、导数：见《牛顿288~294》…

当时我的感觉就是都有导数了，干嘛还要微分？？而且微分看起来和导数长的那么像，咋看都像是导数的重复。
最让我迷惑的是dx这个玩意，一会可以用来约分，一会又可以当做0，那么这两个不是矛盾的吗？？？比如下面一个例子：
…d：differential（微分）首字母…
[differential（英语）：n.（名词）差别；差额；差价；（尤指同行业不同工种的）工资级差。
adj.（形容词）差别的；以差别而定的；有区别的。
——《牛顿321》

dx什么意思？？——网友提问

2019-09-07，想玩游戏的猫：d（x）代表对x求微分。
dy/dx 中的d是“微小的增量”的意思，也就是指微小的增量y除以微小的增量x 。在函数中是，微分的意思。
dx就是对x的微分，是把增量细微化，dx就是很小很小的一个x 。
——《牛顿3》]

…约、分、约分：见《欧几里得107》…
…矛、盾、矛盾：见《欧几里得72》…

今天终于有时间来好好弄明白这个问题了。
…时、间、时间：见《伽利略10》…
（…《伽利略》：小说名…）
…问、题、问题：见《伽利略76》…

有人建议说要搞懂这个问题，要从微积分的发展史来看。
…发、展、发展：见《伽利略21》…
…史：见《欧几里得111》…

确实是这样，不过我不建议上来就看这个历史，我会放在第二部分来讲。
…历、史、历史：见《欧几里得111》…

因为上来就看历史，先入为主，会造成更加的混乱。

一、微分的本质
…本、质、本质：见《欧几里得22》…

我直接先下个结论：微分本质是一个微小的线性变化量，是用一个线性函数作为原函数变化的逼近（或者叫近似）。
…结、论、结论：见《欧几里得66》…
…线：见《欧几里得175》…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
…变、化、变化：见《伽利略10》…
…量：见《欧几里得27》…
…函、数、函数：见《欧几里得52》…
微分的定义是从导数而来的，我们简单回顾一下。
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
…简、单、简单：见《伽利略13》…

由导数的定义有（△x→0）lim（△y/△x）=a=f’（x）
…△：读音是“德尔塔” 。音标为/delt?/ 。
在物理学中，△常常作为变量的前缀使用，表示该变量的变化量，如：△t（时间变化量）、△T（温度变化量）、△X（位移变化量）、△v（速度变化量）等等…见《牛顿8》…

[当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx 。
——《牛顿288》]

∵（因为）在自变量的同一变化过程x→x0（x→∞）中，函数f（x）具有极限A的充分必要条件是f（x）=A+α，其中α是无穷小（证明见《牛顿309》）；
…极、限、极限：见《欧几里得202~321》…
…α：Alpha（大写Α，小写α，中文音译：阿尔法、阿拉法），是第1个希腊字母…
…无、穷、无穷，小，无穷小：见《牛顿280~283》…

（△x→0）lim（△y/△x）=a=f’（x）。

∴（所以） △y/△x=f’（x）+α，其中α是无穷小。
∴ △y=-f’（x）△x+α△x；（△x→0）lim α=0 。

[∵ 有限个无穷小的乘积是无穷小（证明见《牛顿316》）。
∴ α△x是无穷小。]

当△x趋近于0，显然有△y≈f’（x）△x 。

现在我们将f’（x）△x定义为dy 。而△y表示的是函数值的变化。显然dy的真正含义是对这种变化的逼近 。也就是说，我们定义微分，就是想借助微分这个工具来研究函数的变化趋势。
…工、具、工具：见《欧几里得161、162》…
…研、究、研究：见《欧几里得42》…

从上面你可以明白两件事：第一，微分、即dy，不是一个符号哦，是真的有具体值的，它的值为f’（x）△x 。
…符、号、符号：见《欧几里得160、161》…
…值：见《欧几里得74》…
【△y表示函数值的变化，dy的真正含义是对这种变化的逼近】

第二，观察下f’（x）△x，显然是一个关于△x的线性函数，因此微分其实在一点处，用一个线性函数的变化来逼近函数的变化。
你懂的，线性的东西，其规律好掌握嘛。
…规、律、规律：见《欧几里得43》…

好了，这下你明白微分到底是什么含义了吧。
…含、义、含义：见《欧几里得193》…

“dy和dx表示的就是y和x的变化量，是一种具体的量，跟我们通常理解的变化差额没什么本质区别，只不过因为△X趋近0这种极限的性质，让他变得特殊一点而已。
请看下集《牛顿323、微分是沿着极限、导数、微分这个次序架构的》”

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