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【用代数法求解四次方程的通解 四次方程通解公式】我们在中学都学过二次方程的解法 。二次方程是只涉及一个变量的二阶多项式方程 。在这篇文章中,我将展示如何推导三次方程和四次方程的解 。精确的解(或多项式的根)可以通过代数或三角学的方法找到(本文将仅限于代数方法) 。
三次方程从古巴比伦人、希腊人、中国人、印度人和埃及人开始,三次方程已经被研究了几个世纪 。最古老的三次方程是著名几何问题的代数版本,即所谓的德里安问题( Delian problem)(相当于求解方程x3=2) 。
- 图1:列奥纳多·达·芬奇尝试解决德里安问题,但是失败了
- 图2
- 图3:从左到右分别是,西皮安·德尔·费罗,尼科洛·塔尔塔利亚和杰罗拉莫·卡达诺 。
然而,卡达诺注意到塔尔塔利亚的解有时涉及我们现在所称的复数,他并没有真正认识到结果的全部含义 。意大利数学家拉斐尔·邦贝利(Rafael Bombelli)后来详细研究了这个问题 。因此,邦贝利被许多人认为是复数的发现者 。
四次方程数学家洛多维科·德·法拉利(Ludovico Ferrari)在1540年解出了四次方程 。然而,正如我们将要看到的,四次方程的解需要三次方程的解 。因此,它后来才在卡达诺的《 Ars Magna》中发表 。
- 图4:数学家洛多维科·德·法拉利
求解三次方程
我们的目的是演示如何求解以下三次方程:
- 式1
- 图5:三次多项式的例子
为求式1中的z,我们首先选择两个辅助变量u和v,使u + v = z,然后将这个表达式代入式1:
- 式2:将u + v = z代入式1的结果 。
- 式3:最好的u和v的选择 。
- 式4:将uv=-p/3代入式2,我们得到了这个方程组
- 式5:z和w的定义 。
- 式6:利用式5得到式4中的方程组 。
- 式7:式6解对应的二次方程的解 。
- 式8:式1的解 。
四次方程的求解
这里将运用的策略是通过三次方程的解来获得四次方程的解 。这种方法是由历史上最伟大的数学家之一莱昂哈德·欧拉发现的 。没有x^3项的四次方程称为约简四次方程,可以从一般的四次方程只用简单的变量变换就可以得到 。我们只需要解前者(约简方程) 。
- 图6:雅各布·伊曼纽尔·汉德曼(Jakob Emanuel Handmann)为莱昂哈德·欧拉绘制的肖像 。
- 式9:四次方程的例子 。
- 式10:方程9的解 。
- 式11:方程的根由θs给出 。
为了求解,我们按以下步骤进行 。将式10中的四个方程相加,我们发现Eq. 10的z满足:
- 式12:公式10的z所满足的公式 。
- 式13:θ?,θ?,θ?的定义 。
- 式14:将式13代入式9得到的关系 。
- θs是这个三次多项式的根 。
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