毫无疑问，黄金比例在数学和科学中是一个非常奇妙的数字，而真正让它有别于其他数字的一个重要属性是它的无理性 。前面我们说道，φ是一个无理数，也就是说它无法被表示成任何分数，然而更令人惊讶的是，那就是它是无理性最强的一个无理数 。这意味着它不仅不能被精确地表示为分数，甚至很难用分数来近似 。这是一个非常特殊的性质 。
为什么说φ是无理性最强的一个数字呢？数学家在对一个无理数进行近似时，会用到由两个整数（m和n）组成的分数m/n，对任意无理数z来说，不同的n值对应不同的m值 。要找到z的最佳近似，则是要找出能使z与近似分数之差的绝对值，|z - m/n|，最趋近于0的n，换句话说，就是找到近似误差最小的n 。

文章插图
上图中所比较的是π（红）和φ（蓝）的近似误差图，横坐标轴表示的是n从1到200的取值，纵坐标是无理数与近似值之差 “Error =|z - m/n|” 。可以看出，对于π来说，当n=7和n=113时，能给出非常好的π的近似 。这也正是我们所熟知的 π ≈ 22/7和355/113 。
与π相比，黄金比例φ的近似情况显然没有那么明朗 。它的近似误差曲线比其他无理数的近似误差曲线收敛得更慢 。而这背后的原因，是因为φ具有一个特殊性质——它可以被表示为一个“连分数”，使得φ可以被写成这样一种形式：


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它是恒等式 φ - 1 = 1/φ 的一个直接推论 。
φ的连分数形式有一个关键的特征，那就是每一项都有1存在，这些分母中所包含的1会导致较大的误差，从而使得整个分数收敛缓慢 。
相比之下，π的连分数是这样的：


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可以看到它的分母中的数字都很大，比如7、15 、292等等 。这些大的数字会使连分数的误差小得多 。
然而，这种用分数对φ进行近似的困难程度，也使它成为了数学家和计算机科学家在研究同步过程时的一个非常有用的数字 。可以说，虽然黄金比例不同于公众所想象的那般神奇，但当你了解了它真实的样子之后，或许会更加惊叹于数学的真正魅力！

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