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所谓天元术 ， 就是一种用数学符号列方程的方法 ， “立天元一为某某”相当于今“设x为某某”是一致的 。在中国 ， 列方程的思想可追溯到汉代的《九章算术》 ， 书中用文字叙述的方法建立了二次方程 ， 但没有明确的未知数概念 。到唐代 ， 王孝通已经能列出三次方程 ， 但仍是用文字叙述的 ， 而且尚未掌握列方程的一般方法 。经过北宋贾宪、刘益等人的工作 ， 求高次方程正根的问题解决了 。随着数学问题的日益复杂 ， 迫切需要一种普遍的建立方程的方法 ， 天元术便在北宋应运而生了、洞渊、石信道等都是天元术的先驱 。但直到李冶之前 ， 天元术还是比较幼稚的 ， 记号混乱、复杂 ， 演算烦琐 。例如李冶在东平（今山东省东平县）得到的讲天元术的算书中 ， 还不懂得用统一符号表示未知数的不同次幂 ， 它“以十九字识其上下层 ， 曰仙、明、霄、汉、垒、层、高、上、天、人、地、下、低、减、落、逝、泉、暗、鬼 。”这就是说 ， 以“人”字表示常数 ， 人以上九字表示未知数的各正数次幂（最高为九次） ， 入以下九字表示未知数的各负数次幂（最低也是九次） ， 其运算之繁可见一斑 。从稍早于《测圆海镜》的《铃经》等书来看 ， 天元术的作用还十分有限 。
李冶则在前人的基础上 ， 将天元术改进成一种更简便而实用的方法 。当时 ， 北方出了不少算书 ， 除《铃经》外 ， 还有《照胆》、《如积释锁》、《复轨》等 ， 这无疑为李冶的数学研究提供了条件 。特别值得一提的是 ， 他在桐川得到了洞渊的一部算书 ， 内有九客之说 ， 专讲勾股容圆问题 。此书对他启发甚大 。为了能全面、深入地研究天元术 ， 李冶把勾股容圆(即切圆)问题作为一个系统来研究 。他讨论了在各种条件下用天元术求圆径的问题 ， 写成《测圆海镜》十二卷 ， 这是他一生中的最大成就 。
测圆海镜
《测圆海镜》不仅保留了洞渊九容公式 ， 即9种求直角三角形内切圆直径的方法 ， 而且给出一批新的求圆径公式 。卷一的“识别杂记”阐明了圆城图式中各勾股形边长之间的关系以及它们与圆径的关系 ， 共六百余条 ， 每条可看作一个定理（或公式） ， 这部分内容是对中国古代关于勾股容圆问题的总结 。后面各卷的习题 ， 都可以在“识别杂记”的基础上以天元术为工具推导出来 。李冶总结出一套简明实用的天元术程序 ， 并给出化分式方程为整式方程的方法 。他发明了负号和一套先进的小数记法 ， 采用了从零到九的完整数码 。除O以外的数码古已有之 ， 是筹式的反映 。但筹式中遇O空位 ， 没有符号O 。从现存古算书来看 ， 李冶的《测圆海镜》和秦九韶《数书九章》是较早使用O的 ， 它们成书的时间相差不过一年 。《测圆海镜》重在列方程 ， 对方程的解法涉及不多 。但书中用天元术导出许多高次方程（最高为六次） ， 给出的根全部准确无误 ， 可见李冶是掌握高次方程数值解法的 。
《测圆海镜》不仅是我国现存最早的一部天元术著作 ， 而且在体例上也有创新 。全书基本上是一个演绎体系 ， 卷一包含了解题所需的定义、定理、公式 ， 后面各卷问题的解法均可在此基础上以天元术为工具推导出来 。李冶之前的算书 ， 一般采取问题集的形式 ， 各章（卷）内容大体上平列 。李冶以演绎法著书 ， 这是中国数学史上的一个进步 。

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